Trung bình cộng có thể đánh lừa chúng ta như thế nào?

Giả sử có một nhóm sáu người, với mức thu nhập lần lượt là 8 triệu, 9 triệu, 10 triệu, 11 triệu, 12 triệu và 70 triệu đồng mỗi tháng.

Nếu lấy tổng thu nhập chia đều cho sáu người, chúng ta được con số 20 triệu đồng.

Nghe cũng khá đấy chứ!

Nhưng nhìn lại một chút, có đến năm người đang nhận không quá 12 triệu đồng. Chỉ một người có thu nhập 70 triệu.

Vậy nói rằng nhóm này có thu nhập bình quân 20 triệu đồng là đúng hay sai?

Đúng về toán học.

Nhưng nếu dùng con số ấy để khiến người nghe hình dung rằng một người điển hình trong nhóm nhận khoảng 20 triệu mỗi tháng, thì câu chuyện đã khác.

Đây là một trong những điều đầu tiên chú Nha 27 tuổi muốn tìm hiểu khi học thống kê: trung bình cộng rất hữu ích, nhưng không phải lúc nào nó cũng mô tả tốt điều chúng ta muốn biết.

Và điều thú vị là chúng ta không cần học toán cao cấp để nhận ra chuyện này.

1. Trung bình cộng là gì?

Trung bình cộng, tiếng Anh là arithmetic mean, được tính bằng cách cộng tất cả giá trị rồi chia cho số lượng giá trị.

Công thức:

Trung bình cộng = Tổng các giá trị / Số lượng giá trị.

Ví dụ, trong một tuần, Nha chạy bộ với các quãng đường giả định lần lượt là 3 km, 5 km, 4 km, 6 km và 7 km.

Quãng đường chạy trung bình mỗi buổi là:

(3 + 5 + 4 + 6 + 7) / 5 = 5 km.

Con số này rất hữu ích nếu muốn biết tổng quãng đường được phân bổ bình quân cho mỗi buổi chạy.

Tổng quãng đường là 25 km, chia cho năm buổi thì được 5 km. Rõ ràng, dễ hiểu và dễ kiểm tra.

Nhưng trung bình cộng có một đặc điểm cần nhớ: mọi giá trị đều tham gia vào phép tính tổng. Một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ có thể kéo kết quả lên hoặc xuống đáng kể.

Đây không phải lỗi của công thức.

Đó là cách công thức hoạt động.

2. Sáu mức thu nhập và một con số gây hiểu nhầm

Chúng ta quay lại ví dụ đầu bài.

Giả sử sáu người có thu nhập mỗi tháng như sau:

Người	Thu nhập (triệu đồng)
A	8
B	9
C	10
D	11
E	12
F	70

Đây là bộ dữ liệu giả định nhằm minh họa phương pháp thống kê, không phản ánh mức lương thực tế của một doanh nghiệp hoặc nhóm người cụ thể.

Tổng thu nhập của sáu người:

8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 70 = 120 triệu đồng.

Trung bình cộng:

120 / 6 = 20 triệu đồng.

Phép tính đúng.

Tuy nhiên, nếu quan sát từng giá trị, chúng ta thấy năm người có thu nhập từ 8 đến 12 triệu đồng, còn người cuối cùng có thu nhập 70 triệu đồng.

Con số 70 triệu lớn hơn nhiều so với những giá trị còn lại. Nó khiến trung bình cộng tăng đáng kể.

Trong thống kê, những quan sát cách biệt rõ rệt với phần lớn dữ liệu thường được xem là các giá trị ngoại lệ tiềm năng, hay outliers.

Điều quan trọng là một giá trị khác biệt không đồng nghĩa với dữ liệu sai.

Người có thu nhập 70 triệu hoàn toàn có thể tồn tại trong nhóm. Chúng ta không có lý do để xóa dữ liệu của người ấy chỉ vì con số làm trung bình cộng tăng lên.

Thay vào đó, nên sử dụng thêm những thước đo khác để mô tả phân phối thu nhập đầy đủ hơn.

3. Trung vị là gì và tại sao nên biết?

Trung vị, tiếng Anh là median, là giá trị nằm giữa khi dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn hoặc ngược lại.

Nếu số lượng quan sát là số lẻ, trung vị chính là giá trị ở vị trí giữa.

Ví dụ:

5, 7, 9, 11, 15.

Trung vị là 9.

Nếu số lượng quan sát là số chẵn, trung vị được tính bằng trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.

Quay lại bộ dữ liệu thu nhập:

8, 9, 10, 11, 12, 70.

Có sáu giá trị. Hai giá trị giữa là 10 và 11.

Trung vị = (10 + 11) / 2 = 10,5 triệu đồng.

Chúng ta có:

Thước đo	Kết quả
Trung bình cộng (Mean)	20 triệu đồng
Trung vị (Median)	10,5 triệu đồng
Giá trị nhỏ nhất	8 triệu đồng
Giá trị lớn nhất	70 triệu đồng

Chênh lệch giữa trung bình cộng và trung vị là 9,5 triệu đồng.

Trong trường hợp này, trung vị giúp chúng ta hiểu rõ hơn vị trí giữa của phân phối thu nhập, trong khi trung bình cộng cho biết tổng thu nhập được phân bổ đều sẽ là bao nhiêu cho mỗi người.

Hai con số trả lời hai câu hỏi khác nhau.

Vì vậy, thay vì hỏi "Con số nào đúng?", Nha thấy câu hỏi hữu ích hơn là "Mình đang muốn mô tả điều gì?".

Statistics Canada và NIST đều trình bày mean và median như những thước đo xu hướng trung tâm, đồng thời phân biệt cách chúng phản ứng trước các giá trị cực đoan.

4. Thử thay đổi một người, điều gì sẽ xảy ra?

Bây giờ, chúng ta thử một thí nghiệm nhỏ.

Giữ nguyên năm mức thu nhập đầu tiên, nhưng thay mức thu nhập cuối cùng từ 70 triệu thành 20 triệu đồng.

Bộ dữ liệu mới:

8, 9, 10, 11, 12, 20.

Trung bình cộng mới:

(8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 20) / 6 = 70 / 6 ≈ 11,67 triệu đồng.

Trung vị vẫn là:

(10 + 11) / 2 = 10,5 triệu đồng.

Hãy so sánh:

Chỉ số	Bộ dữ liệu ban đầu	Bộ dữ liệu thay đổi
Thu nhập cao nhất	70 triệu	20 triệu
Trung bình cộng	20 triệu	11,67 triệu
Trung vị	10,5 triệu	10,5 triệu

Chỉ thay đổi một giá trị, trung bình cộng giảm hơn 8 triệu đồng.

Trong khi đó, trung vị không đổi vì hai vị trí giữa của bộ dữ liệu vẫn là 10 và 11.

Đây chính là lý do trung vị thường được sử dụng khi phân phối có độ lệch lớn hoặc một số giá trị cực đoan.

Tuy vậy, không nên từ ví dụ này kết luận rằng trung vị luôn bất biến trước mọi thay đổi. Nếu các giá trị ở giữa thay đổi, hoặc cấu trúc phân phối thay đổi đủ nhiều, trung vị cũng sẽ thay đổi.

Điều chúng ta có thể nói chính xác là trung vị ít nhạy cảm hơn trung bình cộng trước sự thay đổi độ lớn của một số giá trị nằm ở hai đầu phân phối.

5. Khi nào nên dùng trung bình cộng, khi nào nên dùng trung vị?

Không có một thước đo duy nhất phù hợp với mọi bài toán.

Đôi khi chúng ta cần biết tổng giá trị được phân bổ bình quân. Đôi khi chúng ta muốn biết vị trí giữa của dữ liệu. Cũng có những trường hợp cần xem cả hai, cùng với khoảng biến thiên và phân phối giá trị.

Tình huống	Thước đo nên xem xét	Lý do
Chi phí bình quân trên mỗi đơn hàng	Mean	Giúp đối chiếu tổng chi phí với số đơn
Giá bán nhà trong khu vực có một số căn rất đắt	Median và Mean	Trung vị ít bị kéo bởi giá trị cực lớn
Thu nhập của một nhóm người	Median, Mean và phân phối	Giúp phân biệt vị trí giữa và bình quân tổng thể
Thời gian giao hàng	Median, các phân vị và Mean	Cho thấy thời gian điển hình và các trường hợp chờ lâu
Ngân sách chi trả bình quân cho mỗi khách	Mean	Phù hợp khi cần tính tổng chi phí bình quân
Thời gian tải trang website	Median, p75 hoặc p95	Giúp quan sát trải nghiệm của nhiều nhóm người dùng

Những lựa chọn trong bảng là gợi ý theo mục tiêu phân tích, không phải quy tắc bắt buộc.

Ví dụ, khi lập kế hoạch ngân sách, trung bình cộng có thể rất hữu ích vì nó liên hệ trực tiếp với tổng chi phí.

Nhưng khi đánh giá trải nghiệm của người dùng, chỉ nhìn vào thời gian trung bình có thể khiến chúng ta bỏ qua nhóm phải chờ đợi quá lâu.

Nha nghĩ điểm đáng học ở đây là biết chọn thước đo dựa trên câu hỏi, thay vì chọn con số trông đẹp hơn.

6. Một trường hợp dễ tính sai: Trung bình của các số trung bình

Đây là phần Nha muốn dành thêm thời gian, nhất là với những ai làm báo cáo kinh doanh.

Giả sử một cửa hàng có hai nhóm đơn hàng:

Nhóm	Số đơn	Giá trị trung bình mỗi đơn
A	10	1.000.000 đồng
B	90	2.000.000 đồng

Nếu lấy hai giá trị trung bình cộng lại rồi chia hai:

(1.000.000 + 2.000.000) / 2 = 1.500.000 đồng.

Phép tính này cho trung bình không trọng số của hai nhóm.

Nhưng nếu muốn biết giá trị trung bình của tất cả 100 đơn hàng, kết quả 1,5 triệu đồng là sai.

Bởi vì nhóm A chỉ có 10 đơn, còn nhóm B có đến 90 đơn.

Chúng ta phải tính tổng giá trị đơn hàng rồi chia cho tổng số đơn.

Tổng giá trị nhóm A:

10 × 1.000.000 = 10.000.000 đồng.

Tổng giá trị nhóm B:

90 × 2.000.000 = 180.000.000 đồng.

Tổng giá trị hai nhóm:

190.000.000 đồng.

Tổng số đơn hàng:

100 đơn.

Giá trị trung bình thực tế của tất cả đơn hàng:

190.000.000 / 100 = 1.900.000 đồng.

Không phải 1,5 triệu.

Chênh lệch 400.000 đồng mỗi đơn.

Đây là một ví dụ về trung bình có trọng số (weighted mean). Trong trường hợp này, số đơn hàng của từng nhóm chính là trọng số.

Công thức tổng quát:

Trung bình có trọng số = Tổng (giá trị × trọng số) / Tổng trọng số.

Lưu ý rằng chúng ta sử dụng trọng số phù hợp với đại lượng đang tính. Nếu hai nhóm có quy mô bằng nhau, trung bình đơn giản của hai giá trị trung bình sẽ cho cùng kết quả với trung bình có trọng số theo số quan sát.

Nhưng nếu quy mô khác nhau, việc bỏ qua trọng số có thể khiến báo cáo sai đáng kể.

Đây là lỗi dễ gặp khi tổng hợp báo cáo nhiều chi nhánh, nhóm sản phẩm hoặc kênh bán hàng.

7. Giá trị ngoại lệ có nên xóa khỏi dữ liệu không?

Giả sử một bảng doanh thu có 100 đơn hàng, trong đó 99 đơn có giá trị dưới 2 triệu đồng, còn một đơn trị giá 100 triệu đồng.

Đơn 100 triệu có thể là một giá trị ngoại lệ đáng kiểm tra.

Nhưng phải kiểm tra điều gì?

Trước hết, đó có phải giao dịch thật không?

Nếu khách hàng thực sự mua một đơn hàng 100 triệu đồng, việc xóa đơn ấy chỉ vì nó làm tăng trung bình cộng có thể khiến doanh thu và các chỉ số tổng hợp bị sai lệch.

Ngược lại, nếu 100 triệu xuất hiện do nhập nhầm số tiền hoặc do lỗi nhân bản dữ liệu, chúng ta cần sửa lỗi dựa trên chứng cứ.

Vì thế, Nha sẽ phân biệt ít nhất ba trường hợp:

• Giá trị khác biệt nhưng hợp lệ.
• Giá trị bất thường do lỗi dữ liệu đã được xác minh.
• Giá trị chưa rõ nguyên nhân và cần kiểm tra thêm.

NIST khuyến nghị không xóa một quan sát ngoại lệ chỉ vì nó bất thường nếu chưa có cơ sở cho rằng đó là lỗi. Thay vào đó, có thể xem xét những phương pháp thống kê ít nhạy cảm hơn với giá trị cực đoan.

Đây là nguyên tắc rất đáng ghi nhớ.

Không nên sửa dữ liệu để kết quả trở nên đẹp hơn.

Chúng ta sửa dữ liệu khi có bằng chứng cho thấy dữ liệu sai.

8. Đừng chỉ nhìn trung bình và trung vị: Hãy xem dữ liệu phân tán ra sao

Giả sử hai nhóm có kết quả kiểm tra như sau:

Nhóm A: 8, 8, 8, 8, 8.

Nhóm B: 2, 5, 8, 11, 14.

Trung bình cộng của cả hai nhóm đều bằng 8.

Trung vị của cả hai nhóm cũng bằng 8.

Nhưng phân phối hoàn toàn khác nhau.

Nhóm A có tất cả giá trị giống nhau. Nhóm B có giá trị trải từ 2 đến 14.

Nếu chỉ xem trung bình và trung vị, chúng ta không nhận ra sự khác biệt ấy.

Đây là lý do thống kê mô tả còn sử dụng các thước đo độ phân tán (dispersion).

Một số thước đo thường gặp gồm:

• Range: khoảng biến thiên giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
• Variance: phương sai, thể hiện mức độ phân tán thông qua bình phương độ lệch.
• Standard deviation: độ lệch chuẩn, đo mức phân tán theo cùng đơn vị với dữ liệu.
• Interquartile range (IQR): khoảng tứ phân vị, bằng Q3 trừ Q1.

Với hai nhóm trong ví dụ:

Range của nhóm A = 8 - 8 = 0.

Range của nhóm B = 14 - 2 = 12.

Chỉ một phép tính đơn giản đã cho chúng ta thêm thông tin quan trọng mà trung bình và trung vị chưa thể hiện.

Tất nhiên, range cũng có giới hạn vì phụ thuộc vào hai giá trị cực trị. Khi phân tích dữ liệu thực tế, nên xem thêm phân phối và các thước đo phù hợp với mục đích nghiên cứu.

9. Tự thực hành với Excel hoặc Google Sheets

Bây giờ, chúng ta thử tính toán bằng một bảng tính.

Nhập sáu mức thu nhập giả định vào vùng A2:A7:

Ô	Giá trị (triệu đồng)
A2	8
A3	9
A4	10
A5	11
A6	12
A7	70

Tính trung bình cộng

=AVERAGE(A2:A7)

Kết quả: 20.

Tính trung vị

=MEDIAN(A2:A7)

Kết quả: 10,5.

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

=MIN(A2:A7) =MAX(A2:A7)

Kết quả lần lượt là 8 và 70.

Tính khoảng biến thiên

=MAX(A2:A7)-MIN(A2:A7)

Kết quả: 62.

Kiểm tra ảnh hưởng của giá trị lớn nhất

Thay giá trị ô A7 từ 70 thành 20.

Trung bình cộng giảm xuống khoảng 11,67, trong khi trung vị vẫn là 10,5.

Bạn vừa tự kiểm tra được tác động của một giá trị lớn lên trung bình cộng.

10. Nếu biết Python, chỉ cần vài dòng là đủ

Python có thư viện statistics trong bộ thư viện chuẩn, hỗ trợ những phép tính thống kê cơ bản.

Ví dụ:

from statistics import mean, median

income = [8, 9, 10, 11, 12, 70]

print("Mean:", mean(income)) print("Median:", median(income)) print("Min:", min(income)) print("Max:", max(income))

income_new = [8, 9, 10, 11, 12, 20]

print("New mean:", mean(income_new)) print("New median:", median(income_new))

Kết quả:

Mean: 20 Median: 10.5 Min: 8 Max: 70 New mean: 11.666666666666666 New median: 10.5

Trong ví dụ này, dữ liệu thu nhập được tính theo đơn vị triệu đồng.

Chúng ta không cần cài thư viện ngoài, miễn là đang sử dụng Python có module statistics.

Nếu có một bộ dữ liệu lớn hơn, bạn có thể sử dụng pandas để đọc dữ liệu CSV, kiểm tra giá trị thiếu, tính thống kê theo từng nhóm và quan sát phân phối bằng biểu đồ.

Nhưng dù dùng Python hay Excel, câu hỏi quan trọng nhất vẫn là: kết quả này giúp mình hiểu điều gì về dữ liệu?

11. Năm câu hỏi trước khi sử dụng một con số trung bình

Nha thử ghi lại năm câu hỏi để lần tới nhìn báo cáo có thể dùng ngay.

1. Trung bình của cái gì? Cần xác định rõ đơn vị quan sát: người, đơn hàng, phiên truy cập hay chi nhánh.
2. Có bao nhiêu quan sát? Trung bình của 5 giá trị và trung bình của 50.000 giá trị cần được xem xét với những bối cảnh khác nhau.
3. Có giá trị ngoại lệ không? Nếu có, hãy tìm hiểu nguyên nhân và mức độ ảnh hưởng, đừng vội xóa.
4. Trung vị là bao nhiêu? So sánh mean và median giúp nhận biết một phần đặc điểm phân phối, dù không đủ để xác định toàn bộ hình dạng dữ liệu.
5. Các nhóm có cùng quy mô không? Khi tổng hợp trung bình từ nhiều nhóm, cần kiểm tra trọng số và mẫu số.

Năm câu hỏi không dài.

Nhưng có thể giúp chúng ta tránh khá nhiều lần tranh luận chỉ vì hai người đang hiểu khác nhau về cùng một chỉ số.

12. Một con số đúng chưa chắc đã kể hết câu chuyện

Quay lại sáu người trong ví dụ đầu bài.

Thu nhập trung bình cộng của họ là 20 triệu đồng.

Trung vị là 10,5 triệu đồng.

Không có con số nào sai.

Chỉ là mỗi con số mô tả một khía cạnh của bộ dữ liệu.

Nếu muốn tính tổng thu nhập bình quân trên mỗi người, 20 triệu là kết quả chính xác.

Nếu muốn tìm điểm giữa của phân phối thu nhập, 10,5 triệu là trung vị.

Nếu muốn biết sự bất bình đẳng thu nhập, mức độ phân tán hoặc phần lớn người trong nhóm đang nhận bao nhiêu, chúng ta còn cần những thông tin khác.

Điều Nha thấy thú vị là càng học thống kê, mình càng nhận ra việc tính ra một con số thường dễ hơn việc giải thích con số ấy cho đúng.

Đừng vội.

Một phép tính có thể chỉ mất vài giây. Nhưng để hiểu kết quả, chúng ta cần biết ai được tính, ai chưa được tính, có những giá trị nào khác biệt và tại sao lại chọn phương pháp ấy.

Trong bài trước, Nha có chia sẻ về việc đọc dữ liệu và tránh những kết luận vội vàng. Trung bình cộng là một ví dụ rất gần gũi cho điều đó.

Còn nếu mới bắt đầu tìm hiểu lĩnh vực này, bạn có thể đọc thêm bài Khoa học dữ liệu là gì?.

Và lần tới, khi nghe ai đó nói "Trung bình mỗi người là...", chú Nha có lẽ sẽ hỏi thêm một câu:

"Thế trung vị là bao nhiêu?"

Không phải để bắt bẻ.

Chỉ để hiểu câu chuyện đầy đủ hơn một chút.

Tài liệu tham khảo

1. Statistics Canada – Statistics 101: Exploring measures of central tendency. Giải thích mean, median, mode và ảnh hưởng của giá trị cực đoan.
2. NIST – Measures of Location. Định nghĩa và công thức các thước đo vị trí trung tâm.
3. NIST – Tietjen-Moore Test for Outliers. Các lưu ý về việc kiểm tra và xử lý giá trị ngoại lệ.
4. Statistics Canada – Statistics 101: Exploring measures of dispersion. Giới thiệu range, IQR, độ lệch chuẩn và sự phân tán dữ liệu.
5. Python Documentation – statistics. Tham khảo các hàm mean và median của Python.

Mãnh Tử Nha – Chú Nha 27 tuổi, tự học mỗi ngày và chia sẻ lại những điều mình thấy hữu ích.